Из проволоки длина которой 16 см нужно согнуть прямоугольный контур.

Из проволоки, длина которой 16 см, нужно согнуть прямоугольный контур, ограничивающий наибольшую площадь. Какими должны быть размеры этого контура?

Ответ

Квадрат 4 х 4 см.

Решение задачи

Если длину прямоугольника обозначить через x, то его ширина будет 8-x, а значит, площадь его будет s=x(8-x)=-x²+8x. Остается определить, при каком значении x будет иметь наибольшее значение s. Для этого, например, можно построить график, как показано на рисунке. Теперь очевидно, что контур, ограничивающий наибольшую площадь, будет иметь форму квадрата со стороной 4 см.
Задача может быть решена не только графическим, но и алгебраическим способом: Рассмотрим общий случай. Одна сторона прямоугольника x, другая p-x, где p - полупериметр. Тогда площадь s=x(p-x) или x²-px+s=0, откуда x=_p/₂±√(^p²/₄-s). Очевидно, что для действительных значений x необходимо, чтобы ^p²/₄ было больше s, и наибольшее значение s=^p²/₄. Следовательно, x=^p/₂.

О задаче

Категория: Задачи на максимум и минимум, Геометрические задачи,
Степень сложности: средняя.
Ключевые слова: 16, площадь, контур, проволока, прямоугольник,
Источник: Математическая шкатулка,

Скачать задачу

Вы можете скачать изображение с текстом задачи, поделиться им с друзьями в социальных сетях либо использовать в презентациях. Для скачивания, нажмите на картинке.