Сколько пролетит мячик?

Если уронить мячик с падающей Пизанской башни на высоте 179 футов над землей и если при каждом отскоке этот мячик будет подниматься ровно на 1/10 предыдущей высоты, то какое расстояние он проделает, прежде чем ляжет на землю?

Ответ

219 футов

Решение задачи

Мячик пройдет расстояние 179+17,9+17,9+1,79+1,79+0,179+0,179+...=218,7(7) футов.
Установить точное расстояние можно при поможи числовых рядов. Обозначим высоту башни за 1, тогда подпрыгивающий мяч остановится преодолев путь равный 1 (высота, с которой он был брошен) плюс сумма ряда (1/10+1/10) + (1/100+1/100) + ... = 1/5 + 1/50 + 1/500 + ... Обозначим ряд через х и, поскольку каждый член этого ряда в 10 раз меньше предыдущего, умножим обе части получившегося равенства на 10:
x = 1/5 + 1/50 + 1/500 + ...
10x = 2 + 1/5 + 1/50 + 1/50 + ...
10x = 2 + x, x = 2/9.
Таким образом, сумма этого ряда равна 2/9. Итак, когда, совершив бесконечное число подскоков, мяч остановится, пройденный им путь будет равен 1 + 2/9 = 11/9, т.е. 179 × 11 ÷ 9 = 218 футов 9¹/₃ дюйма.

О задаче

Категория: Ряды,
Степень сложности: простая (уровень начальной школы).
Ключевые слова: 179, мяч, Пизанская башня,
Источник: Самые знаменитые головоломки мира,

Скачать задачу

Вы можете скачать изображение с текстом задачи, поделиться им с друзьями в социальных сетях либо использовать в презентациях. Для скачивания, нажмите на картинке.